浅谈新形势下团委工作创新

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  • 时间:2019-03-10 18:53
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函数思想是中学数学中最重最基本的数学思想之一,它贯彻于中学课程的始终。有的专家学者曾用三句话概括中学数学的基本观点以函数为纲,以方程为网,数形结合。中学数学中的很多内容如方程、不等式、数列等,若用函数的思想(观点)去认识,往往可以展露新的视角、开辟新的解题思路。本文试着通过实例,就如何利用函数思想来认识和证明不等式这个问题,做一些探究。 关键词函数;不等式 O 根据不等式的结构特点,分析其异同,把相同的量固定下来,把不同的量赋予其一个变量,便可构造一个可供利用的函数。 例(高中数学必修五,第页) 分析设和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值,m表示窗户和占地所增加的面积的值(面积单位都相同),由题意知。教材中利用比较法证得> 这个实际问题的数学实质是已知,那么>。 现在我们用函数思想重新打量这个不等式该式可以改写为>,这样一来,不等式两边两个式子具有了相同的结构形式。我们把相同的地方固定下来,把不同的地方赋予一个变量,就可构造出一个函数=,而与就是该函数的两个函数值和,比较与的大小,只考查该函数的单调性就可以了。 证明考查函数=(设≤<,则== 可以判断<∴< ∴=(又∵m>,∴>∴> 利用函数f(x)的单调性,若m>n>,则,由此得推论 推论 推论例(高中数学选修—,第页)求证<(≥) 分析这个不等式可以用分析法证明,通过两边平方的办法去掉根号,找到使该式成立的充分条件。现在用函数的观点重新打量这个不等式该不等式两边都是两个算术平方根的差,可以说具有相同的结构形式,我们构造一个具有这种结构特征的函数=,那么不等式两边的两个式子就可以看成是该不等式的两个函数值,比较这两个函数值的大小,只考查该函数的单调性即可。 证明设=,由于=,易知在(,∞)上为减函数,又∵≥,∴>≥∵<,∴原式得证。 式子若为对称式(各字母位置可置换),可考虑打破对称性,“静中求动”,把其中一个字母看成是自变量,便可构造出辅助函数。 例已知,b,c∈,求证≥ 分析即证≥,把看成是自变量x,便得辅助函数= 证明考查在(,∞)上的单调性。设<,则=(),使<,只>,令,探求分界点,得>,∴>,∴在(∞)上单调递增,同理,在(,)上单调递减,∴≥ 而=≥∴≥,即≥ 可以看到,构造辅助函数,就寻找到一个合适的自变量。该不等式中的三个字母、b、c本来都是常量,且地位相同,我们让其中一个字母“动”起来,看做一个变量,变成一个主元,则就找到了自变量,因而构造出了可供利用的函数。 若不等式具有>(或<)的形式特点,可以构造一个以为判别式的一元二次函数,利用一元二次函数的性质证明不等式。 例求证≤ 分析该不等式中的两边的两个式子无论如何也无法看成是一个函数的两个函数值,也就是无法构造出辅助函数,但通过变形和转化,就可以找到可供利用的辅助函数。 证原式成立,只证△=[]≤ 构造一个以△为判别式的一元二次函数,通过证得恒有≥成立,便可使原题从容得解。 证明设= 对于这个二次函数,由于=≥恒成立。 ∴△=[]≤∴原式成立。 例已知……=,……= 求证……= 略证设=(……)(……)(……)由于,=……≥成立。所以△≤,原式即得证。事实上,将例、例进行推广,便可得到证明的柯西不等式≤。 在解题时,我们习惯于把注意力集中在那些主元上,这一点是无可厚非的。但当思维受阻时,如果能变换一下思维角度,“反客为主”,常能于绝境中走出一条坦途。 例已知,且,且,求证 证明由于,故只需证 令= ∵且∴==< ∴当时,<==即当时,,又,∴ 我们习惯上以作为自变量,这里一反常规,以作自变量,使问题变得简捷易解。 从上述实例可以看到不等号两端的两个数(式)往往可以看成是一个函数的两个函数值,或者通过变形后可以看成一个函数的两个函数值。如果这样看待,那么一个不等式就变成了一个函数的两个函数值之间的大小关系式。如果能根据问题所处的情境,构造恰当的辅助函数,把对不等量关系的考查纳入一个“动”的过程中,便可以利用函数的单调性等性质使不等式获证。 参考文献 []刘卓雄.函数观点在解题中的应用[J].福建中学数学,. 注本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文